Question

13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质：类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式，对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．
如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$+$\frac{2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$；
$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2x+2-5}{x+1}$=$\frac{2x+2}{x+1}$+$\frac{-5}{x+1}$=2+（-$\frac{5}{x+1}$）．
（1）下列分式中：①$\frac{x-1}{x+1}$，②$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，③$\frac{4y}{2{y}^{2}+1}$，④$\frac{{m}^{2}+3}{{m}^{2}-1}$，属于真分式的是③（填序号）；
（2）将假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式与真分式的和的形式为：
$\frac{4a+5}{2a-1}$=2+$\frac{7}{2a-1}$，若假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值为整数，则整数a的值为1或0或4或-3；
（3）将假分式$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$化成整式与真分式的和的形式．

Answer 1

分析 （1）根据真分式的定义即可作出判断；
（2）利用例题的方法即可将假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式与真分式的和，假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值为整数，则化成整式与真分式的和后，所得真分式的分母是分式的分子的因数，据此列方程求解；
（3）把分式的分子利用含分母的式子表示出来，先化成整式与分子和分母同此的形式，然后化成真分式的形式．

解答 解：（1）根据真分式的定义，满足条件的只有③，故答案是③；
（2）$\frac{4a+5}{2a-1}$=$\frac{4a-2+7}{2a-1}$=$\frac{4a-2}{2a-1}$+$\frac{7}{2a-1}$．
若分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值为整数，则2a-1=±1或±7，则a=1或0或4或-3．
故答案是：2； $\frac{2}{2a-1}$； 1或0或4或-3；
（3）$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$=$\frac{{a}^{2}+a-a-3}{a+1}$=$\frac{a（a+1）}{a+1}$+$\frac{a-3}{a+1}$=a+$\frac{a+1-4}{a+1}$=a+$\frac{a+1}{a+1}$-$\frac{4}{a+1}$=a+1-$\frac{4}{a+1}$．

点评 本题考查了分式的化简，正确理解题意，理解把假分式化成真分式的思路是关键．