Question

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4的图象经过点A（1，3），点B是一次函数y=kx+4的图象与正比例函数y=$\frac{1}{3}$x的图象的交点．
（1）求一次函数y=kx+4的表达式；
（2）求点B的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入可求得k，则可求得一次函数的解析式；
（2）联立两函数解析式可求得点B的坐标；
（3）找A点关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求，由待定系数法可求得A′B的解析式，则可求得P点坐标，

解答 解：
（1）∵一次函数y=kx+4的图象经过点A（1，3），
∴k+4=3，解得k=-1，
∴y=-x+4；
（2）∵点B是一次函数y=kx+4的图象与正比例函数y=$\frac{1}{3}$x的图象的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（3，1）；
（3）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点P，

则PA=PA′，此时PA+PB=A′B，即PA+PB最短，
∵A（1，3），
∴A′（1，-3），
设直线A′B解析式为y=mx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+b=-3}\\{3m+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线A′B解析式为y=2x-5，
令y=0可得2x-5=0，解得x=2.5，
∴P（2.5，0），
设AA′交x轴于点C，则PC=2.5-1=1.5，
∴S_△PAB=S_△ABA′-S_△APA′=$\frac{1}{2}$×（3-1）•AA′-$\frac{1}{2}$×1.5×AA′=$\frac{1}{2}$×0.5×1.5=$\frac{3}{8}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、轴对称的性质及三角形的面积等知识．在（1）、（2）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度不大，较易得分．