题目内容
问题提出：求边长分别为
，
，
（a为正整数）三角形的面积．
问题探究：为解决上述数学问题，我们采取数形结合和转化的思想方法，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：当a=1时，求边长分别为
、
、
三角形的面积．
先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为，，的格点三角形△ABC（如图①）．
因为AB是直角边分别为2和1的Rt△ABE的斜边，所以AB=；
因为BC是直角边分别为1和3的Rt△BCF的斜边，所以BC=；
因为AC是直角边分别为3和2的Rt△ACG的斜边，所以AC=；通过面积转化，可间接求三角形△ABC的面积．
所以，S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG．
（1）直接写出图①中S△ABC=__________．
探究二：当a=2时，求边长分别为2
，
，5三角形的面积．
先画一个长方形网格（每个小长方形的长为2，宽为1），再在网格中画出边长分
别为2，，5的格点三角形△ABC（如图②）．
因为AB是直角边分别为2和2的Rt△ABE的斜边，所以AB=2；
因为BC是直角边分别为1和6的Rt△BCF的斜边，所以BC=；
因为AC是直角边分别为3和4的Rt△ACG的斜边，所以AC=5，通过面积转化，可间接求三角形△ABC的面积．
所以，S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG
（2）直接写出图②中S△ABC=__________．
探究三：当a=3时，求边长分别为
，
，3
三角形的面积．
仿照上述方法解答下列问题：
（3）画的长方形网格中，每个小长方形的长应是__________．
（4）边长分别为
，
，3
的三角形的面积为__________．
问题解决：求边长分别为
，
，
（a为正整数）三角形的面积．
（5）类比上述方法画长方形网格，每个小长方形的长应是__________．
（6）边长分别为
，
，
（a为正整数）的三角形的面积是__________．
【考点】勾股定理．
【分析】（1）根据图中正方形的边长为1，再利用S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG可得出结论；
（2）根据图中正方形的边长为1，再利用S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG可得出结论；
（3）根据（1）（2）中正方形的边长规律可得出结论；
（4）根据题意在网格中画出图形，同（2）的方法可得出结论；
（5）根据（2）（3）中长方形的边长规律可得出结论；
（6）根据（5）中的结论画出图形即可得出三角形的面积．
【解答】解：（1）由图可知，
S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG
=3×3﹣
×2×1﹣×1×3﹣
×2×3
=9﹣1﹣
﹣3
=
．
故答案为：；
（2）由图可知，
S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG
=3×6﹣×2×2﹣×1×6﹣×4×3
=18﹣2﹣3﹣6
=7．
故答案为7；
（3）由（2）可知，每个小长方形的长应是2．
故答案为：2；
（4）∵
=
，
=
，3
=
，
∴长方形的边长为3，画图如下：
∴S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG
=3×9﹣
×2×3﹣﹣×1×9﹣×3×6
=27﹣3﹣9﹣
=
．
故答案为：；
（5）由（1）、（2）、（4）可知，每个小长方形的长应是a．
故答案为：a；
（6）由（1）、（2）、（4）的规律可知，
边长分别为
，
，
（a为正整数）的三角形的面积为：
S△ABC=S正方形EFCG﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△ACG
=3×3a﹣
×2×a﹣×1×3a﹣×3×2a
=9a﹣a﹣
a﹣3a
=
a．
故答案为：a．
【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意找出规律，求出长方形的边长与a的关系是解答此题的关键．
＜x＜
的整数x是__________．
﹣3
+
．
B．
C．
D．
