Question

20．已知二次函数y=mx²-（2m+1）x+2；
（1）求证：该二次函数图象与x轴有交点；
（2）若该函数与x轴交点分别为A，B，且AB=4．求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求得判别式，证得△≥0，继而证得结论；
（2）先设A、B两点的坐标，由根与系数的关系代入等式AB=4中，得到关于m的方程，解出即可．

解答 （1）证明：△=[-（2m+1）]²-4m×2=4m²-4m+1=（2m-1）²
∵无论m取何值，（2m-1）²均为非负数，
即（2m-1）²≥0，
∴二次函数图象与x轴有交点；

（2）解：设A（x₁，0），B（x₂，0），
当y=0时，mx²-（2m+1）x+2=0，
则x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$，x₂•x₁=$\frac{2}{m}$，
∵AB=4，
∴|x₁-x₂|=4，
（x₁-x₂）²=16，
x12-2x₁x₂+x22=16，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
${（\frac{2m+1}{m}）}^{2}$$-4×\frac{2}{m}$=16，
整理得：（2m+1）（6m-1）=0，
解得：m=$-\frac{1}{2}$或m=$\frac{1}{6}$．
当m=$\frac{1}{2}$时，△=0，函数与x轴只有一个交点，不合题意；
∴m=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点，利用根的判别式和根与系数的关系是解答此题的关键．