Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，则∠AME的度数是30°．

Answer 1

分析 利用角边角证明△AME与△FMD全等，得到M为EF的中点，根据平行四边形的对边平行，得到∠BEC=∠ECF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ME=MC，根据等比对等角，得到∠MEC=∠MCE=40°，从而得出∠EMC和∠MCD的度数，再根据AD=2AB，AD=2MD，所以MD=AB，根据平行四边形的性质得AB=CD，即MD=CD，根据等边对等角求出∠DMC的度数，而要求的角等于上边求出的∠EMC和∠DMC的和，从而求出答案．

解答 解：延长EM与CD的延长线交于点F，连接CM，
∵M是AD的中点，∴AM=DM，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，又∠BEC=90°，
∴∠ECF=90°，∠A=MDF，
在△AEM和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠F}\\{∠AME=∠DMF}\\{AM=DM}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=FM，
∴CM=EM=$\frac{1}{2}$EF，
∴∠MEC=∠MCE=40°，
∴∠EMC=100°，∠MCD=50°，
又∵M为AD中点，AD=2DC，
∴MD=CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠DMC=∠DCM=50°，
∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°，
则∠AME=30°．
故答案为：30°．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质，同时还要注意等腰三角形的性质在做题中的灵活运用，得出∠MEC=∠MCE是解题关键．