Question

20．如图，在?ABCD中，∠BCD=60°，AB=2BC=4，将?ABCD绕点B逆时针旋转一定角度后得到?A′BC′D′，其中点C的对应点C′落在边CD上，则图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 由旋转可得CB=C′B，根据∠C=60°可得△BCC′为等边三角形、△BCD为直角三角形，继而可得旋转角∠ABA′=∠DBD′=∠CBC′=60°，BD=2$\sqrt{3}$，最后根据阴影部分的面积=S_扇形BAA′-S_扇形BDD′计算可得．

解答 解：如图，连接BD、BD′，

∵?A′BC′D′是由?ABCD绕点B旋转得到的，
∴∠ABA′=∠CBC′=∠DBD′，AB=A′B，CB=C′B，BD=BD′，
∵∠BCD=60°，AB=2BC=4，
∴BC′=BC=2=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴△BCD是直角三角形，∠ABA′=∠CBC′=∠DBD′=60°，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则阴影部分的面积=S_扇形BAA′-S_扇形BDD′
=$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{60•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$
=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形等知识点，根据已知条件求得旋转半径和旋转角是求扇形面积的关键．