Question

如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Answer 1

考点：菱形的性质,二次函数的最值,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．

解答：（1）证明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=

180°-∠D

2

，
同理，∠CGF=

180°-∠C

2

，
∴∠DGH+∠CGF=

360°-(∠D+∠C)

2

，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是：

3

2

a²，
设BE=x，则AE=a-x，
则△AEH的面积是：

3 (a-x)2

4

，
△BEF的面积是：

3 x2

4

，
则矩形EFGH的面积y=

3

2

a²-

3 (a-x)2

2

-

3

2

x2，
即y=-

3

x²+

3

ax，
则当x=

3 a

2 3

=

a

2

时，函数有最大值．
此时BE=

a

2

．

点评：本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．