Question

19．如图，在?ABCD中，过点B作直线交AC，AD于O，E，交CD的延长线于F．
（1）若OE=2，BE=5，求OA：OC的值；
（2）求证：OE：OB=OB：OF；
（3）若OE=2，OF=6，求OB的长．

Answer 1

分析 （1）先求出OB，再求出△AOE和△COB相似，根据相似三角形对应边成比例列式即可；
（2）求出△AOE和△COB相似，根据相似三角形对应边成比例可得OE：OB=OA：OC，再求出△AOB和△COF相似，根据相似三角形对应边成比例可得OA：OC=OB：OF，从而得证；
（3）将OE、OF的长代入（2）中计算即可得解．

解答 （1）解：∵OE=2，BE=5，
∴OB=BE-OE=5-2=3，
∵?ABCD中，AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴OA：OC=OE：OB=2：3；

（2）证明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴OE：OB=OA：OC，
∵?ABCD中，AB∥CD，
∴△AOB∽△COF，
∴OA：OC=OB：OF，
∴OE：OB=OB：OF；

（3）解：∵OE：OB=OB：OF，
∴2：OB=OB：6，
解得OB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于（2）利用OA：OC作为中间比．