Question

14．如图所示，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．

Answer 1

分析 根据等腰三角形性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线，等腰三角形性质，求出AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，求出∠ADB=90°，∠EDB=∠FDA，根据ASA证出△ADF≌△BDE即可．

解答 证明：如图，连接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDA=90°-∠ADE，
在△ADF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠FAD=∠B=45°}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴BE=AF．

点评 本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能得出△ADF≌△BDE是解此题的关键．