Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）试判断：直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

分析 （1）连结AE，如图，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，则利用等腰三角形的性质得AE平分∠BAC，即∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，加上∠CAB=2∠CBF，所以∠BAE=∠CBF，接着利用∠BAE+∠ABE=90°得到∠CBF+∠ABE=90°，然后根据切线的判定定理得到直线BF为⊙O的切线；
（2）作CH⊥BF于H，如图，先利用勾股定理计算出AF=10，则CF=AF-AC=AF-AB=4，再证明Rt△FCH∽Rt△FAB，利用相似比计算出CH=$\frac{12}{5}$，FH=$\frac{16}{5}$，则BH=BF-HF=$\frac{24}{5}$，
然后在Rt△CBH中根据正切的定义求解．

解答 解：（1）直线BF与⊙O相切．理由如下：
连结AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
而∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∴直线BF为⊙O的切线；
（2）作CH⊥BF于H，如图，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=8，
∴AF=10，
∴CF=AF-AC=AF-AB=10-6=4，
∵∠CFH=∠AFB，
∴Rt△FCH∽Rt△FAB，
∴$\frac{CH}{AB}$=$\frac{FH}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$，即$\frac{CH}{6}$=$\frac{FH}{8}$=$\frac{4}{10}$，
∴CH=$\frac{12}{5}$，FH=$\frac{16}{5}$，
∴BH=BF-HF=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△CBH中，tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{1}{2}$，
即tan∠CBF=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．