Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AE是△ABC的角平分线，CD是高，AE与CD相交于F点．若BE=4，则DF的长是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作EH⊥AB于H，如图，在Rt△BEH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH和EH的长，再根据角平分线的性质得EC=EH，接着计算出AB、BD，从而得到AD和AH的长，然后证明△AFD∽△AEH，最后利用相似比可计算出DF的长．

解答 解：作EH⊥AB于H，如图，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△BEH中，BH=$\frac{1}{2}$BE=2，EH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴EC=EH=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$+4，
在Rt△ABC中，AB=2BC=4$\sqrt{3}$+8，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$+2，
∴DH=BD-BH=$\sqrt{3}$+2-2=$\sqrt{3}$，AD=AB-BD=3$\sqrt{3}$+6，
∵FD∥EH，
∴△AFD∽△AEH，
∴$\frac{FD}{EH}$=$\frac{AD}{AH}$，即$\frac{FD}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}+6}{4\sqrt{3}+6}$，
∴FD=3．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是△AEH与△AFD相似．