Question

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y=kx+2，顶点C、D在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的图象上，若tan∠ADB=2．则点D的坐标为（1，3）．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，根据直线的解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB．易证△AED∽△BOA，根据相似三角形的性质可求出ED、AE，从而可得到点D的坐标（用k表示），同理可得到点C的坐标（用k表示），然后根据点D、C在反比例函数的图象上得到关于k的方程，就可解决问题．

解答 解：过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，如图所示．
∵点A、B是直线y=kx+2分别与y轴、x轴的交点，
∴A（0，2），B（-$\frac{2}{k}$，0），
∴OA=2，OB=-$\frac{2}{k}$．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC．
∵tan∠ADB=2，
∴$\frac{AB}{AD}$=2，$\frac{AB}{BC}$=2．
∵∠DEA=∠AOB=90°，∠EAD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△AED∽△BOA，
∴$\frac{ED}{OA}$=$\frac{AE}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴ED=1，AE=-$\frac{1}{k}$，
∴点D（1，2-$\frac{1}{k}$）．
同理：点C（1-$\frac{2}{k}$，-$\frac{1}{k}$）．
∵点C、D都在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的图象上，
∴1×（2-$\frac{1}{k}$）=（1-$\frac{2}{k}$）•（-$\frac{1}{k}$），
∴k=±1．
∵k＜0，
∴k=-1，
∴点D的坐标为（1，3）．

点评 本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数的定义等知识，构造K型相似得到点D、C的坐标是解决本题的关键．