Question

2．如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S_△AOD：S_△BOC=AD²：AO²，④OD：OC=DE：EC，⑤OD²=DE•CD，正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD²=DE•CD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOC}}$=${（\frac{AD}{OB}）}^{2}$=${（\frac{AD}{AO}）}^{2}$=$\frac{{AD}^{2}}{{AO}^{2}}$，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，选项④错误．

解答 解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项①正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$，即OD²=DC•DE，选项⑤正确；
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，
∠A=∠B=90°，
∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOC}}$=${（\frac{AD}{OB}）}^{2}$=${（\frac{AD}{AO}）}^{2}$=$\frac{{AD}^{2}}{{AO}^{2}}$，选项③正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，选项④错误；
故选C．

点评 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．