Question

7．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m=$\frac{1}{4}$时，n=-1；
（2）随着点M的转动，当m从$\frac{1}{3}$变化到$\frac{2}{3}$时，点N相应移动的路径长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）当m=$\frac{1}{4}$时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的$\frac{1}{4}$，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，即可得到n=-1；
（2）当m从$\frac{1}{3}$变化到$\frac{2}{3}$时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=$\frac{1}{3}$时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的$\frac{1}{3}$，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=$\frac{2}{3}$时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的$\frac{2}{3}$，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．

解答 解：（1）当m=$\frac{1}{4}$时，连接PM，如图1，

则有∠APM=$\frac{1}{4}$×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=-1．
故答案为-1；

（2）①当m=$\frac{1}{3}$时，连接PM，如图2，

∠APM=$\frac{1}{3}×$360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②当m=$\frac{2}{3}$时，连接PM，如图3，

∠APM=360°-$\frac{2}{3}$×360°=120°，
同理可得：NO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．