Question

1．如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AB、边AC于点E和点F且点A落在BC边上，记作点D．设BD=x，y=tan∠AFE．
（1）连AD交折痕EF于点P，当点E从AB边中点运动到与点B重合的过程中，点P的运动路径长是多少？（直接写出答案）
（2）若点E不与B点重合，点F不与C点重合，求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
（3）当$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质、勾股定理和三角函数进行解答即可；
（2）过点D作DG⊥BC，交直线AC于点G，由相似三角形的判定和性质得出y关于x的函数关系式即可；
（3）当$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$时，设AD=4a，根据解直角三角形得出y的值，再代入可得x的值．

解答 解：（1）如图1，由轴对称的性质可得，点P是AD的中点，点P'是AD'的中点，

当点E是AB的中点时，AD是BC边上的高，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=10，
故sin∠ABC=cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$，sin∠ACB=cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴BC=AB•cos∠ABC=$\frac{32}{5}$，
当点E与点B重合时，BD'=AB=8，DD'=BD'-BD=8-$\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$，
∴由三角形的中位线的性质可得，点P运动的路径长为$\frac{1}{2}×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$；
（2）如图2，过点D作DG⊥BC，交直线AC于点G，

则∠ADC=∠EDF=∠BAC=90°，由等式的性质可得∠BDE=∠GDF，
∵∠B=∠DGF（同角的余角相等），
∴△BDE∽△GDF，
∴$\frac{BD}{DG}=\frac{DE}{DF}$，
而$\frac{DE}{DF}=tan∠DFE=tan∠AFE=y$，
在Rt△CDG中，DG=CD$•tan∠C=\frac{4}{3}（10-x）$，
∴$y=\frac{3x}{4（10-x）}（4≤x≤8）$；
（3）由轴对称的性质可得，AP=DP=$\frac{1}{2}AD$，设AD=4a，
则AP=2a，EF=5a，在Rt△APF中，PF=$\frac{AP}{y}=\frac{2a}{y}$，
在Rt△AEP中，EP=AP•y=2ay，
∴$\frac{2a}{y}+2ay=5a$，
解得：${y}_{1}=\frac{1}{2}，{y}_{2}=2$，
当$y=\frac{1}{2}$时，$\frac{3x}{4（10-x）}=\frac{1}{2}$，解得：x=4；
当y=2时，$\frac{3x}{4（10-x）}=2$，解得：x=$\frac{80}{11}$．

点评 本题主要考查了几何变换问题，关键是根据轴对称的性质、锐角三角函数的定义、解直角三角形和相似三角形的判定和性质等知识解答．