Question

11．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD，求△ABE与△CDE的面积之比为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 连接AD．设AB=a，利用勾股定理求出AC、CD，由△EBA∽△ECD推出$\frac{{S}_{△EBA}}{{S}_{△ECD}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD．设AB=a，

∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2a，
∵∠DBA=∠DBC，
∴AD=CD，
∵AD²+DC²=AC²，
∴AD=CD=$\sqrt{2}$a，
∵∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EBA∽△ECD，
∴$\frac{{S}_{△EBA}}{{S}_{△ECD}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=（$\frac{a}{\sqrt{2}a}$）²=$\frac{1}{2}$．

故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查基本作图、角平分线的性质．圆的有关知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．