Question

6．如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=$\frac{1}{3}$a（a为大于零的常数），求BK的长．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质和垂直的定义得出∠AED=90°，再根据矩形的性质判断出Rt△ADE≌Rt△CBK即可；
（2）先利用勾股定理求出AC，再用三角形的面积公式求出BK即可．

解答 （1）∵DH∥KB，BK⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠KCB，
在△ADE和△CBK中$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CKB}\\{∠EAD=∠KCB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△CBK，
∴AE=CK．
（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=$\frac{1}{3}$a，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{1}{3}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{1}{2}$AC×BK，
∴BK=$\frac{AB×BC}{AC}$=$\frac{a×\frac{1}{3}a}{\frac{\sqrt{10}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，平行线的性质，垂直的定义，勾股定理，解本题的关键是判断出Rt△ADE≌Rt△CBK．