Question

如图所示，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作BC的平行线交CD的延长线于F，易证Rt△ABE≌Rt△AFD，所以∠AEB=∠ADF，AE=AD，进而可得∠AED=∠ADE，所以∠DEC=∠EDC，由等角对等边可得CE=CD．

解答：证明：过点A作BC的平行线交CD的延长线于F，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
∴AB∥CF，
∵AB=BC，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=AB，
在Rt△ABE和Rt△AFD中，

AB=AF AE=AD

∴Rt△ABE≌Rt△AFD，
∴∠AEB=∠ADF，AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠CED=∠CDE，
∴DC=CE．

点评：本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．