Question

4．某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为6$\sqrt{3}$cm的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率为（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼此平行、距离为6$\sqrt{3}$cm的小正六边形内，从而计算这个小正多边形的面积，小正多边形与正六边形的面积之比即为所求．

解答 解：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼此平行、距离为6$\sqrt{3}$cm的小正六边形内（如图）．作OC₁⊥A₁A₂，且C₁C₂=6$\sqrt{3}$cm．
因A₁A₂=A₂O=36，A₂C₁=18，所以，
C₁O=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₂O=18$\sqrt{3}$．
则C₂O=C₁O-C₁C₂=12$\sqrt{3}$．
又因为C₂O=$\sqrt{3}$B₂O，所以，
B₂O=$\frac{2}{\sqrt{3}}$C₂O=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×12$\sqrt{3}$=24．
而B₁B₂=B₂O，则小正六边形的边长为24cm．
故所求概率为
P=$\frac{小正六边形的面积}{正六边形地砖面积}$=（$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{{A}_{1}{A}_{2}}$）²=（$\frac{24}{36}$）²=$\frac{4}{9}$．
故选A．

点评 本题考查的是几何概率、正多边形和圆的综合利用，关键是理清题意，找准之间的关系进行解题．