Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），设AP=x，S_△CDP=y．
（1）求y与x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）连接BP，当△ABP是等腰三角形时，求y的值．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，再根据三角形的面积求出点D到AC的距离，然后表示出PC，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）分AP=AB=3；AP=BP时，由等腰三角形三线合一的性质可得点P在AB的垂直平分线上，此时AP=

1

2

AC；AB=BP时，利用∠BAC的余弦列式求出AP，然后分别代入函数关系式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
设点D到AC的距离为h，
则S_△ACD=

1

2

×5h=

1

2

×3×4，
解得h=

12

5

，
∵AP=x，
∴PC=5-x，
∴S_△CDP=y=

1

2

（5-x）×

12

5

=-

6

5

x+6（0＜x＜5）；

（2）AP=AB=3时，x=3，y=-

6

5

×3+6=

12

5

；
AP=BP时，点P在AB的垂直平分线上，AP=

1

2

AC=

5

2

，
y=-

6

5

×

5

2

+6=3；
AB=BP时，AP=2ABcos∠BAC=2×3×

3

5

=

12

5

，
y=-

6

5

×

12

5

+6=

78

25

，
综上所述，△ABP是等腰三角形时，y的值为

12

5

或3或

78

25

．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（2）根据等腰三角形腰长的不同分情况讨论．