题目内容
如图，过点A（0，3）的直线l1与x轴交于点B，tan∠ABO=
．过点A的另一直线l2：y=-
x+b （t＞0）与x轴交于点Q，点P是射线AB上的一个动点，过P作PH⊥x轴于点H，设PB=5t．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4t |
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）由A（0，3），且tan∠ABO=
，可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）首先可求得△OAB的三边长，易得△BHP∽△BOA，然后由相似三角形的对应边成比例，表示出点Q的坐标，再分别从①当H在Q、B之间时（如图1），与②当H在O、Q之间时（如图2），去分析求解即可求得答案；
（3）分别从①当H在Q、B之间时，②当H在O、Q之间时，③当H在B的右侧时，去分析求解即可求得答案．
| 3 |
| 4 |
（2）首先可求得△OAB的三边长，易得△BHP∽△BOA，然后由相似三角形的对应边成比例，表示出点Q的坐标，再分别从①当H在Q、B之间时（如图1），与②当H在O、Q之间时（如图2），去分析求解即可求得答案；
（3）分别从①当H在Q、B之间时，②当H在O、Q之间时，③当H在B的右侧时，去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵A（0，3），且tan∠ABO=
，
∴B（4，0），
设y=kx+b，将A（0，3）B（4，0）代入上式得：
，
解得k=-
，b=3，
∴函数解析式为y=-
x+3；
（2）由B（4，0）．
∴OB=4，
∵OA=3，
∴AB=5．
∵PH⊥x轴，
∴PH∥OA，
∴△BHP∽△BOA，
∵OA：OB：AB=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=-
x+3与x轴交于点Q，得Q（4t，0），
①当H在Q、B之间时（如图1），QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
∴S=
（4-8t）×3t=-12t2+6t（0＜t＜
）；
②当H在O、Q之间时（如图2），QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
S=
（8t-4）3t=12t2-6t（
＜t≤1）；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△AOQ相似．
①当H在Q、B之间时，BH=4t，OQ=4t，PH=3t，
∴QH=4-8t，
当△OAQ∽△HQP时，
=
，
即
=
，
解得：t1=
，则P1（
，
）；
当△OAQ∽△HQP时，
=
，
即
=
，
解得：t2=
-1，则P2（8-4
，3
-3）；
②当H在O、Q之间时，则QH=8t-4，
同理可得：t3=
，P3（
，
） 或者t4=1，P4（0，3）；
③当H在B的右侧时，QH=4，则t5=1，P5（8，-3）．
| 3 |
| 4 |
∴B（4，0），
设y=kx+b，将A（0，3）B（4，0）代入上式得：
|
解得k=-
| 3 |
| 4 |
∴函数解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
（2）由B（4，0）．
∴OB=4，
∵OA=3，
∴AB=5．
∵PH⊥x轴，
∴PH∥OA，
∴△BHP∽△BOA，
∵OA：OB：AB=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=-
| 3 |
| 4t |
①当H在Q、B之间时（如图1），QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②当H在O、Q之间时（如图2），QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△AOQ相似．
①当H在Q、B之间时，BH=4t，OQ=4t，PH=3t，
∴QH=4-8t，
当△OAQ∽△HQP时，| OQ |
| PH |
| OA |
| QH |
即
| 4t |
| 3t |
| 3 |
| 4-8t |
解得：t1=
| 7 |
| 32 |
| 25 |
| 8 |
| 21 |
| 32 |
当△OAQ∽△HQP时，
| OQ |
| QH |
| OA |
| PH |
即
| 4t |
| 4-8t |
| 3 |
| 3t |
解得：t2=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
②当H在O、Q之间时，则QH=8t-4，
同理可得：t3=
| 25 |
| 32 |
| 7 |
| 8 |
| 75 |
| 32 |
③当H在B的右侧时，QH=4，则t5=1，P5（8，-3）．
点评：此题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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