Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．
（1）判断直线FG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BF=1，CG=2，求⊙O半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OE，由AB=AC得∠B=∠ACB，由半径相等知∠OEC=∠ACB，所以∠B=∠OEC，OE∥AB，可得OE⊥GF，直线FG与⊙O相切．  
（2）设⊙O的半径为r，则OE=r，AB=AC=2r．AF=2r-1，OG=r+2，AG=2r+2．再由△GOE∽△GAF，

OE

AF

=

OG

AG

，解得r=2．

解答：解：（1）连结OE，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵OC=OE，
∴∠OEC=∠ACB．
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB．  
∵AB⊥GF，
∴OE⊥GF．      
∵点E在⊙O上，
∴直线FG与⊙O相切．  
（2）设⊙O的半径为r，则OE=r，AB=AC=2r．
∵BF=1，CG=2，
∴AF=2r-1，OG=r+2，AG=2r+2．  
∵OE∥AB，
∴△GOE∽△GAF，
∴

OE

AF

=

OG

AG

，
∴

r

2r-1

=

r+2

2r+2

，
解得r=2，
即⊙O的半径为2．

点评：本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．熟练掌握定理与性质是解题的关键．