Question

如图，双曲线y=

k

x

经过点A （1，4），过原点O的直l交双曲线于点P、Q，设P点的横坐标为m．
（1）填空：
①k=

 

；
③在每个象限内y随x的增大而

 

；
②Q点的坐标为

 

（含m）．
（2）当m=4，求△POA的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）①根据待定系数法，可得答案；③根据 k的值，可得反比例函数的性质；②根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得答案；
（2）根据解方程组，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答：解：（1）①双曲线y=

k

x

经过点A （1，4），
k=1×4=4，
③k=4＞0，在每个象限内y随x的增大而 而减小；
②Q点的坐标为 （m，

4

m

）（含m）；
（2）连接AP，作OB⊥AP与B，如图：

当m=4，P（4，1）
OA=OP=

17

，AP=

(4-1)2+(1-4)2

=3

2

，
BP=

3 2

2

，
OB=

OP2-BP2

=

17-( 3 2 2 )2

=

5 2

2

，
S△AOP=

1

2

AP•OB=

1

2

×

5 2

2

×3

2

=7.5．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，反比例函数的性质，两点间距离公式，三角形的面积公式．