Question

14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形PECF是矩形．
（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值：2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形；
（2）根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

解答 （1）证明：如图，连接CP．
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形；
（2）解：∵四边形PECF是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CP，
即$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$•CP，
解得CP=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．