Question

13．如图，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²-12x+32=0的两个根．
（1）求sin∠ABO的值；
（2）已知点C是OB的中点，当点P在射线BA上运动到S_△AOC=S_△AOP时，求经过点P的反比例函数解析式；
（3）若点Q在线段AB上，平移直线OQ交x轴于点D，交y轴于点E．当M（a，4）时，是否存在点N使得以点D、E、M、N为顶点的四边形是正方形？若存在直接写出点N的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可求得方程的两根分别为4和8，且OA＜OB，所以求得OA=4，OB=8，再根据勾股定理，求得AB的长，即可解答；
（2）先求出直线AB的解析式，再根据S_△AOC=S_△AOP时，求出点P的纵坐标，把点P的纵坐标代入直线AB的解析式求点P的横坐标，即可解答；
（3）画出图形，根据正方形的性质，即可解答．

解答 解：（1）x²-12x+32=0
解得：x₁=4，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）如图，连接AC，OP，过点P作PD⊥OA于点D，

设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+8，
∵OB=8，点C是OB的中点，
∴OC=4，
当点P在射线BA上运动到S_△AOC=S_△AOP时，
∴$OA•OC×\frac{1}{2}=OA•PD×\frac{1}{2}$
即$4×4×\frac{1}{2}=4•PD×\frac{1}{2}$，
∴PD=4，
∴设P（x，4），
把P（x，4）代入y=-2x+8得：-2x+8=4，
解得：x=2，
∴P（2，4），
设经过点P的函数解析式为：$y=\frac{k}{x}$，
∴$4=\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∴经过点P的函数解析式为：$y=\frac{8}{x}$．
（3）存在；如图，

①当直线OQ向下平移时，DENM为正方形，
当点M在y轴上时，此时点M的坐标为（0，4），此时点M与点E关于x轴对称，点D与点N关y轴对称，
根据正方形的性质，OM=OE=OD=ON=4，
所以N（-4，0）；
②当直线OQ向上平移时，平移到与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-4，0），DENM为正方形，
∴O（D）=4，O（E）=4，
∴根据中点的性质，此时N的坐标为（-4，8）
∴N（-4，0）或N（-4，8）．

点评 本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．