Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过x轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，8），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=2a，AB=6．
求：（1）抛物线的解析式；
（2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由．
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求点E坐标．

Answer 1

分析 （1）把已知坐标C代入求得c=8，又b=2a，AB=6，ax²+2ax+8=0，|x₁-x₂|=6求得a的值，即求出抛物线的解析式；
（2）已知D点坐标，可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为R，求出R，OP的值即可；
（3）过点E作EF⊥y轴于F，设E（m，2m-4）连接PE，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵y轴上的点C（0，-8），
∴c=-8，
又∵b=2a，AB=6，令ax²+2ax-8=0，|x₁-x₂|=6，
解得：a=1，b=2；
∴抛物线的解析式是：y=x²+2x-8；

（2）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴D（-2，-8），
解x²+2x-8=0得，x₁=-4，x₂=2，
∵B（2，0），
∴直线B D为：y=2x-4，
连接BP，设⊙P的半径为R，
R²=（ 8-R）²+2²，
∴R=$\frac{17}{4}$，P（0，-$\frac{15}{4}$），
∴点P的坐标不满足直线BD的解析式y=2x-4，
∴直线BD不经过圆心P；

（3）过点E作EF⊥y轴于F，
设直线BD与y轴交于G，
∴G（0，-4），
设E（m，2m-4）
连接PE，
则PE=$\frac{17}{4}$，
∵PE²=EF²+PF²，
∴（$\frac{17}{4}$）²=m²+（-2m+4-$\frac{15}{4}$）²，
∴m=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{38}{5}$）．

点评 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，灵活的利用数形结合正确得出函数图象上的交点坐标是解题的关键．