Question

5．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转．

（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，得到∠ADC=∠BEC=135°，进而得到∠AEB=90°，再根据勾股定理以及AD的长，即可得出DE=7，最后根据等腰Rt△CDE，运用勾股定理得到CD的长；
（2）过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，再根据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠CAE=∠BCD，再判定△BCD≌△CAH（ASA），得出AH=CD=CE，BD=CH，再判定四边形ACEH是平行四边形，即可得到CH=2CG，进而得出BD=2CG．

解答 解：（1）如图1，∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，
∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，
∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，∠EDC=∠DEC=45°，
∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠AEB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=12，
∴DE=7，
∴等腰Rt△CDE中，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠ACG，
在△BCD和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠ACG}\\{CB=AC}\\{∠BCD=∠CAH}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CAH（ASA），
∴AH=CD=CE，BD=CH，
又∵AH∥CE，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴CH=2CG，
∴BD=2CG．

点评 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意：旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的对角线互相平分得出结论．