Question

12．如图所示，直线y=2x+3与双曲线y=$\frac{m}{x}$相交于A，B两点，与轴交于点C，且△OCA的面积为1.5．
（1）求双曲线y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（2）若点D，B关于原点对称，一动点P沿着x轴运动，则|PA-PD|是否有最大值？如果有，请确定点P的位置；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求得C点坐标，然后根据三角形的面积求得A的横坐标，代入直线解析式即可求得A的坐标，代入反比例函数解析式即可求得m；
（2）联立解析式求得B的坐标，根据对称的性质求得D的坐标，因为当A、D、P在一条直线上时，|PA-PD|的值最大，所以根据待定系数法求得直线AD的解析式，然后即可求得直线与x轴的交点，即为P点．

解答 解：（1）由直线y=2x+3可知，C（0，3），
∴OC=3，
∵△OCA的面积为1.5．
∴$\frac{1}{2}$OC•x_A=1.5，
∴x_A=1，
代入y=2x+3得，y=2×1+3=5，
∴A（1，5），
把A代入y=$\frac{m}{x}$解得，m=5，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{5}{x}$；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{x}}\\{y=2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-$\frac{5}{2}$，-2），
∵点D，B关于原点对称，
∴D（$\frac{5}{2}$，2），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{\frac{5}{2}k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-2x+7，
令y=0，则-2x+7=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴当P（$\frac{7}{2}$，0）时，|PA-PD|有最大值．

点评 主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，中心对称的性质，（2）确定出P点的位置是解题的关键．