Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M在边AC上，过点M作MN⊥AB与点N，将△MNA沿着MN折叠，恰好点A的对应点A′与点B重合．
（1）若∠A=30°，求证：CM=NM；
（2）若BC=1，AC=$\sqrt{2}$，求此时CM的长度．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，∠A=30°可求得∠ABC=60°，然后由翻折的性质可知∠NBM=30°，从而可求得∠CBM=∠NBM=30°，最后由角平分线的性质可证明CM=NM；
（2）设CM=x，则MA=$\sqrt{2}-x$，由翻折的性质可知：MA=BM=$\sqrt{2}-x$，最后在Rt△BCM中由勾股定理可求得x的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
由翻折的性质可知：∠NBM=∠A=30°．
∴∠CBM=∠NBM=30°．
又∵MN⊥AB，BC⊥CA，
∴CM=NM．
（2）CM=x，则MA=$\sqrt{2}-x$．
由翻折的性质可知：MA=BM=$\sqrt{2}-x$．
在Rt△BCM中，由勾股定理可知：MB²=CM²+BC²，即$（\sqrt{2}-x）^{2}={x}^{2}+{1}^{2}$．
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．