Question

已知抛物线y₁=x²-（m+4）x+2（m+1）和y₂=-x²+4x-6．
（1）求证：不论m取何值，抛物线y₁的顶点总在抛物线y₂上；
（2）当抛物线y₁经过原点时，求y₁的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）根据二次函数的性质求出抛物线y₁的顶点坐标，将顶点横坐标代入抛物线y₂的解析式，求出y₂的值与y₁顶点的纵坐标相等即可证明；
（2）将原点坐标代入抛物线y₁的解析式，求出m的值，即可得到y₁的解析式．

解答：证明：（1）∵y₁=x²-（m+4）x+2（m+1），
∴顶点横坐标为：

m+4

2

，纵坐标为：

4×2(m+1)-(m+4)2

4

=-

m2+8

4

．
当x=

m+4

2

时，y₂=-x²+4x-6=-（

m+4

2

）²+4（

m+4

2

）-6=-

m2+8

4

．
故不论m取何值，抛物线y₁的顶点总在抛物线y₂上；

（2）∵抛物线y₁经过原点，
∴2（m+1）=0，
解得m=-1，
∴y₁的解析式为y₁=x²-3x．

点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，难度适中．求出抛物线y₁的顶点坐标是解题的关键．