Question

16．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{1}{x}$上，第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．设A（x，$\frac{1}{x}$），则ON•AN=1，由tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得出=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．通过△MBO∽△NOA的对应边成比例求得k=-OM•BM=-$\frac{1}{3}$．

解答 解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），ON•AN=1．
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA，$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$．
故答案为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出B的坐标．