Question

【题目】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形，的“远距”，记作．

已知点，．

（1）（点，线段）______，（点，线段）______；

（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，若（线段，线段），

①求的值；

②直接写出（线段，线段）______；

（3）的圆心为，半径为1．若（线段），请直接写出（，线段）的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3，5；（2）①； ②；（3）（，线段）．

【解析】

（1）由图可知O到A的距离最小，O到B的距离最大，求出相应距离即可；、

（2）根据题意判断为等腰直角三角形，可得，得到OC=OD，求得点C坐标，从而得到k的值；根据线段CD与线段AB的位置关系，得到BC间距离即为所求；

（3）通过对在轴上的位置的讨论，即可得到（，线段）的取值范围

（1）作图如下：

A（0,3），B（4,3）

∴OA=3，AB=4

∴点O到线段AB上的点A的距离最短，OA=3；

∴点O到线段AB上的点B的距离最大，；

（2）①过点A作于点E，

则（线段，线段），

直线与y轴交点为，

与x轴交点C在x轴负半轴，

．

．

．

点C的坐标为．

．

②由图可知，线段CD上一点，到线段AB上一点的距离的最大值为BC的长度，作图如下：

∴

故答案为：

（3）作图如下：

若在点A的左侧，则，，则，即T（）

此时（，线段）=

若在点AB中间，当圆心T为AB中垂线与轴交点，即T（），

此时（，线段）最小，即（，线段）=

故答案为：（，线段）．