Question

18．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用ASA得出△DAF≌△ECF，进而利用全等三角形的性质得出CE=AD，即可得出四边形ACDE是平行四边形；
（2）由AE⊥EC，四边形ADCE是平行四边形，可推出四边形ADCE是矩形，由F为AC的中点，求出AC，根据勾股定理即可求得AE，由矩形面积公式即可求得结论．

解答 解：（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ECA，
在△DAF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ECF}\\{FA=FC}\\{∠AFD=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ECF  （ASA），
∴CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；

（2）∵AE⊥EC，四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形，
在Rt△AEC中，F为AC的中点，
∴AC=2EF=2，
∴AE²=AC²-EC²=2²-1²=3，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴四边形ADCE的面积=AE•EC=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，得出∴△DAF≌△ECF 是解题关键．