Question

2．如图，在⊙O中，点A为$\widehat{BC}$的中点，若∠BAC=140°，则∠OBA的度数为70°．

Answer 1

分析 在优弧BC上取一点P，连接BP，CP，OA，OC，根据圆内接四边形的性质求出∠P的度数，由圆周角定理求出∠BOC的度数，根据四边形内角和定理得出∠OBA+∠OCA的度数，再由SSS定理得出△OAB≌△OAC，故可得出∠OBA=∠OCA，由此可得出结论．

解答 解：在优弧BC上取一点P，连接BP，CP，OA，OC，
∵∠BAC=140°，
∴∠P=180°-140°=40°，
∴∠BOC=2∠P=80°，
∴∠OBA+∠OCA=360°-140°-80°=140°．
∵点A为$\widehat{BC}$的中点，
∴AB=AC．
在△OAB与△OAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OB=OC\\ OA=OA\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OAC（SSS），
∴∠OBA=∠OCA=$\frac{140°}{2}$=70°．
故答案为：70°．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角及全等三角形是解答此题的关键．