Question

12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，EF与AC交于点O，分别连接AE、CF．若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，则EF的长为2．

Answer 1

分析 先根据解直角三角形得到DF和CF的长，再根据勾股定理求得AC的长，并得出AO的长，然后利用勾股定理求得OF的长，最后根据等腰三角形的性质，求得EF的长等于OF长的2倍．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=CD=$\sqrt{3}$，∠D=90°，
∴DF=1，CF=2，
由折叠可得，AC被EF垂直平分，
∴AF=CF=2，
∴AD=2+1=3，
∴直角三角形ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴直角三角形AOF中，OF=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
又∵由折叠得∠AEO=∠CEO，由AD∥BC得∠AFO=∠CEO，
∴∠AFO=∠AEO，即AF=AE，
∵AO⊥EF，
∴EF=2FO=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．解题时注意：对应点的连线段被折痕垂直平分．此题也可以通过判定△AEF为等边三角形进行求解．