Question

7．在平面直角坐标系xOy中，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象如图所示．已知此图象经过A（m，n），B（2，2）两点．过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）如果AC=$\frac{3}{2}$OD，求a、b的值；
（2）如果BC∥AE，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由点B（2，2）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，求得k=4，$y=\frac{4}{x}$，根据已知条件得到A点的坐标为（$\frac{4}{3}$，3），解方程组即可得到结论；
（2）设A点的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），则C点的坐标为（m，0），推出四边形BCED为平行四边形，根据平行四边形的性质得到CE=BD=2，DE=BC，∠ADF=∠AEC，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵点B（2，2）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=4，$y=\frac{4}{x}$，
∵BD⊥y轴，
∴D点的坐标为（0，2），OD=2．
∵AC⊥x轴，AC=$\frac{3}{2}$OD，
∴AC=3，即A点的纵坐标为3，
∵点A在$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴A点的坐标为（$\frac{4}{3}$，3），
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}a+b=3\\ b=2.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=2.\end{array}\right.$
∴a=$\frac{3}{4}$，b=2，

（2）如图2，设A点的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），则C点的坐标为（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴CE=BD=2，DE=BC，
∵BD∥CE，
∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}=\frac{{\frac{4}{m}-2}}{m}$，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}=\frac{{\frac{4}{m}}}{2}$，
∴$\frac{{\frac{4}{m}-2}}{m}=\frac{{\frac{4}{m}}}{2}$，解得m=1，
∴C点的坐标为（1，0），
∴BC=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．