Question

20．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，且AE=BC，原题设其它条件不变．求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；
（2）根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等，得到△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论

解答 （1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）证明：∵BF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AFE=∠BFC=∠ADB=90°，
∵∠AEF=∠BED，
∴∠EAF=∠DBE，
在△AEF与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠DBE}\\{∠AFE=∠BFC}\\{AE=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF，
∴AF=BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，熟记各性质是解题的关键．