Question

如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，当点A在运动过程中，⊙P与菱形OABC的边所在直线相切时，t=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质,菱形的性质

专题：计算题,压轴题

分析：⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=

OC

OP

，表示出OC，等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

解答：解：分三种情况考虑：
①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC，
∵OA=1+t，四边形OABC为菱形，
∴OC=1+t，
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3•

3

2

，
∴t=

3 3

2

-1；
②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），切点为O，PC=OP=3，
过P作PE⊥OC于E，则OE=

1

2

OC，
∴

1+t

2

=OPcos30°=

3 3

2

，
∴t=3

3

-1；
③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），
设切点为F，PF交OC于G，则PF⊥OC，
∴FG=CD=（1+t）sin60°=

3

2

（1+t），
∴PC=PF=OPsin30°+

3

2

（1+t）=

3

2

+

3

2

（1+t），
过C作CH⊥y轴于H，
在Rt△PHC中，利用勾股定理得：PH²+CH²=PC²，
∴（

1+t

2

）²+（

3 (1+t)

2

-3）²=（

3

2

+

3 (1+t)

2

）²，
化简得：（t+1）²-18

3

（t+1）+27=0，
解得：t+1=9

3

±6

6

，
∵t=9

3

-6

6

-1＜0，
∴t=9

3

+6

6

-1，
∴所求t的值为

3 3

2

-1或3

3

-1或9

3

+6

6

-1．
故答案为：

3 3

2

-1或3

3

-1或9

3

+6

6

-1．

点评：此题考查了切线的性质，菱形的性质，特殊角的三角函数值，及勾股定理的运用，利用了分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，同时注意锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值的运用．