Question

5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，AE=3，CE=1，BC=6．
（1）求DE的长；
（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{DF}$（用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示）

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，AE=3，CE=1，可得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{4}$，即可证得DE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得DE的长；
（2）由DF∥AC，可得$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{4}$，再由三角形法则，即可求得答案．

解答 解：（1）∵AE=3，CE=1，
∴AC=AE+CE=4，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=BC×$\frac{3}{4}$=6×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{2}$；

（2）∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$．

点评 此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键．