Question

【题目】综合与探究

数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.

问题情境：

如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D.

初步探究：

(1)在图1的直线l上取点E，使BE＝BC，得到图2.猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由；

变式拓展：

(2)小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP.小颖在图 1 的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点 H.

请从下面 A，B 两题中任选一题作答，我选择_____题.

A.如图3，当点N与点M在直线l的异侧时，探究此时线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由.

B.如图4，当点N与点M在直线l的同侧，且点P在线段CD的中点时，探究此时线段CD，AD，NH之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)CE＝2AD；(2)A题：CP＝AD+NH；B题：NH＝CD+AD.

【解析】

(1) 过点B作BF⊥l于点F，通过已知条件证得△ACD≌△CBF，再通过等腰三角形性质即可求解.

(2) ①过点B作BF⊥l于点F，通过已知条件△ACD≌△CBF证得△BFP≌△PHN，即可得出边边之间关系.

②过点B作BF⊥l于点F，通过已知条件△ACD≌△CBF证得△BFP≌△PHN，再通过边边转化即可求解.

(1)CE＝2AD，理由如下：

过点B作BF⊥l于点F，易得∠CFB＝90°

∵AD⊥l

∴∠ADC＝90°，∠CAD+∠DCA＝90°

∴∠ADC＝∠CFB

∵∠ACB＝90°

∴∠DCA+∠BCF＝90°

∴∠CAD＝∠BCF

在△ACD和△CBF 中

∴△ACD≌△CBF(AAS)

∴AD＝CF

∵BE＝BC，BF⊥l

∴CF＝EF

∴CE＝2CF＝2AD

(2)A.CP＝AD+NH，理由如下：

过点B作BF⊥l于点F，易得∠BFP＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP和△PHN 中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵CP＝CF+PF

∴CP＝AD+NH

B.NH＝CD+AD，理由如下：

过点B作BF⊥l于点F，易得∠BFC＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP 和△PHN中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵点P在线段CD的中点

∴CP＝DP＝CD

由图得：PF＝PC+CF

∴NH＝CD+AD