Question

13．在△ABC中，∠ACB=45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，连结FC．
（1）如果AB=AC．如图1，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图2，且点D在线段BC的延长线上运动．此时（1）中结论是否成立，为什么？

Answer 1

分析 （1）由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）当AB≠AC，证不出△BAD≌△CAF，即结论不成立．

解答 解：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
（2）当AB≠AC，证不出△BAD≌△CAF，即结论不成立．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．解题的关键是证明△BAD≌△CAF，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．