Question

4．如图，设正△ABC的内切圆⊙O与其三边的切点分别为D、E、F，点P在$\widehat{EF}$上，它到三边AB、BC、CA的距离分别为1、2、x，则x的值为2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 如图，连接AP，EP，FP，AD，分别作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，于是得到PK=1，PN=2，PM=x，根据等边三角形和切线的性质得到EF是△ABC的中位线，推出△AEF是等边三角形，得到PH⊥EF，设AD交EF于G，则AG=DG=HM，根据三角形的面积得到PM=2PH+3，推出P，H，E，K四点共圆，由圆周角定理得到∠PKH=∠PEH，∠PHK=∠PEK，同理P，H，F，N四点共圆，由圆周角定理得到∠PHN=∠PFN，∠PNH=∠PFH推出△PKH∽△PHN，根据相似三角形的性质得到PH=$\sqrt{PN•PK}$=$\sqrt{2}$即可得到结论．

解答 解：如图，连接AP，EP，FP，AD，分别作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，
则PK=1，PN=2，PM=x，
∵△ABC的内切圆⊙O与其三边的切点分别为D、E、F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴△AEF是等边三角形，AD⊥EF，
∴PH⊥EF，
设AD交EF于G，则AG=DG=HM，
∵S_△AEF=S_△PAE+S_△PEF+S_△PAF=$\frac{1}{2}$AG•EF，
∴$\frac{1}{2}$AE•PK+$\frac{1}{2}$EF•PH+$\frac{1}{2}$AF•PN=$\frac{1}{2}$AG•EF，
∴（PK+PH+PN）EF=AG•EF，
∴HM=AG=PK=PH+PN=PH+3，
∴PM=2PH+3，
∵PH⊥EF，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴P，H，E，K四点共圆，
∴∠PKH=∠PEH，∠PHK=∠PEK，
同理P，H，F，N四点共圆，
∴∠PHN=∠PFN，∠PNH=∠PFH，
∵AE，AF是⊙O的切线，
∴∠PEK=∠PFH，∠PFN=∠PEH，
∴∠PHK=∠PNH，∠PKH=∠PHN，
∴△PKH∽△PHN，
∴$\frac{PH}{PN}=\frac{PK}{PH}$，
即PH=$\sqrt{PN•PK}$=$\sqrt{2}$，
∴PM=2PH+3=2$\sqrt{2}$+3，
即x=2$\sqrt{2}$+3．
故答案为：2$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．