Question

20．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4$\sqrt{2}$，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F
（1）求证：$\frac{PC}{CD}=\frac{CE}{CB}$；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；
（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；
（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．

解答 （1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，
∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，
∴△BCE∽△DCP，
∴$\frac{PC}{DC}$=$\frac{EC}{CB}$；

（2）解：AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，
∴∠PCE=∠BCD，
又∵$\frac{PC}{DC}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD=∠CEP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD；

（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，
∵AC=4$\sqrt{2}$，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，
∴BE=CE=4，
∵△PCE∽△DCB，
∴$\frac{EC}{CB}$=$\frac{PE}{BD}$，即$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，
∴PM=sin45°•（4+x）=$\frac{\sqrt{2}（4+x）}{2}$，
∴△PBD的面积S=$\frac{1}{2}$BD•PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$x×$\frac{\sqrt{2}（4+x）}{2}$=$\frac{1}{2}$x²+2x．

点评 此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出PM的长是解题关键．