Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x₁，0），且-1＜x₁＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a-3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）²＜b²；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∵a＜0，
∴abc＜0．
故①错误；

②由图示知，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，故②正确；

③由图示知，x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∵x=-

b

2a

=1，
∴a=-

1

2

b，
∴a-b+c=-

1

2

b-b+c＜0，即2c＜3b，故③正确；

④由图示知，x=1时，y＞0，即a+b+c＞0
∵a-b+c＜0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，则（a+c）²-b²＜0，
∴（a+c）²＜b²；
故④正确；

⑤∵当x=1时，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞m（am+b），（m为实数且m≠1），故⑤正确．
综上所述，其中正确的结论有4个．
故选：D．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．