Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC为F，
（1）求证：BE=CF；
（2）若AE=4，FC=3，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股数

专题：常规题型

分析：（1）连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证明△BED≌△CFD就可以得出AE=BF，BE=CF；
（2）由AE=BF，FC=BE就可以求得EF的长．

解答：解：（1）连接BD．

∵D是AC中点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，

∠EBD=∠C BD=CD ∠EDB=∠CDF

，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵AB=CD，BE=CF=3，
∴AE=BF=4
在RT△BEF中，EF=

BE2+BF2

=5．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BD是解题的关键．