Question

17．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 由矩形的性质和SAS证出△ABD≌△BAC，若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；分两种情况：①当$\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AB}$时；②当$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AD}$时；分别得出t的方程，解方程即可．

解答 解：由题意得：AP=2tcm，DQ=tcm，则AQ=（6-t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠A=∠ABC}&{\;}\\{AB=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；
分两种情况：
①当$\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AB}$时，
即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②当$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AD}$时，
即$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$．
综上所述：当t=3或t=$\frac{6}{5}$时，△APQ与△ABC相似．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解方程等知识；本题难度不大，需要进行分类讨论．