Question

如图，直线y=x+3交反比例函数y=

k

x

的图象于点A，交x轴于点B，且过点C（-1，2），将直线AB向下平移，线段CA平移到线段OD，当点D也在反比例函数y=

k

x

的图象上时，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：首先根据A在直线y=x+3上，设点A（a，a+3），求出B点坐标，再由条件线段OD所在直线是由直线y=x+3平移得到的，可得线段OD的直线为y=x，且CA=DO，设点D（d，d），再根据勾股定理表示出线段AC、OD的长：CA²=（a+1）²+（a+1）²，OD²=d²+d²，再由CA=DO可得（a+1）²=d²，再根据点A、点D都在反比例函数y=

k

x

上，可得（a+3）a=k、d²=k，把两式结合即可求出k、a的值．

解答：解：根据题意画出图：
∵A在直线y=x+3上，
∴设点A（a，a+3）；
∵直线y=x+3交x轴于点B，
∴B（-3，0），
∵线段OD所在直线是由直线y=x+3平移得到的，
∴线段OD的直线为y=x，设点D（d，d），
∵线段CA平移到OD，
∴|CA|=|OD|；
∵A（a，a+3）、B（-3，0）、C（-1，2）、D（d，d），
∴CA²=（a+1）²+（a+1）²，OD²=d²+d²，
解之得（a+1）²=d²…①
又∵点A、点D都在反比例函数y=

k

x

上，
∴（a+3）a=k、d²=k…②
∴（a+3）a=d²，
∴（a+3）a=（a+1）²，
解得：a=1，k=4．
故答案为：4．

点评：此题主要考查了一次函数、反比例函数、勾股定理，关键是根据题意表示出A、B、C、D的坐标，用勾股定理与函数关系式表示出a、k的关系．