Question

如图，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F．
证明：PE=PF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，就可以得出PM=PN，四边形PMON是矩形，就可以得出∠MPN=90°，可以求出∠MPE=∠NPF，证△MPE≌△NPF就可以得出结论．

解答：解：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴∠PME=∠PNF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠EPF，
∴∠MPE-∠MPN=∠EPF-∠MPN，
∴∠MPE=∠NPF．
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN．
在△MPE和△NPF中，

∠MPE=∠NPF ∠PME=∠PNF PM=PN

，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴PE=PF．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．