Question

如图，已知AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于P，CE切⊙O于C并交BA的延长线于E，AP=2，CD=8，则AB、AE的长分别为（　　）

• A、10，

  10

  3

• B、8，

  10

  3

• C、9，

  10

  3

• D、以上都不对

Answer 1

考点：切线的性质,垂径定理

专题：

分析：如图，连接OC．由垂径定理得到PC=

1

2

CD=4；所以在直角△OPC中，由勾股定理可以求得圆O的半径；在直角△OCE中，可以根据射影定理求得OE的长度，则AE=OE-圆O的半径．

解答：解：如图，连接OC．
∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于P，
∴PC=

1

2

CD=4，
∴在直角△OPC中，由勾股定理得到：OC=

(OA-AP)2+PC2

=

(OC-2)2+42

，
解得OC=5，
∴AB=2OC=10．
∵CE切⊙O于C并交BA的延长线于E，
∴OC⊥EC，
∴PC²=OP•PE，即4²=3×PE，
解得，PE=

16

3

，
∴AE=PE-PA=

16

3

-2=

10

3

．
综上所述，AB、AE的长度分别是10，

10

3

．
故选：A．

点评：本题考查了圆的切线性质，及垂径定理的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．