Question

如图，已知抛物线y=-

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ax²+m（a≠0）的顶点是A，点B与点A关于点（-

2

，0）成中心对称．
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若直线y=

2

2

x+m与抛物线y=-

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ax²+a经过点B，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的基础上，点M是抛物线上的一点，过点M作MQ⊥x轴交直线y=2于点Q，连接OM，求证：MQ=OM．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据解析式即可求得顶点坐标，根据对称中心即可求得对称点B的坐标；
（2）把B（-2

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，-m）代入直线y=

2

2

x+m中，求得m的值，从而得到B（-2

2

，-1），代入抛物线y=-

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ax²+a中，求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）设Q（m，-

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m²+1），根据勾股定理求得OM的值，和QM进行比较即可判定；

解答：（1）解：由抛物线y=-

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ax²+m（a≠0）可知顶点A（0，m），
∵点B与点A关于点（-

2

，0）成中心对称，
∴B（-2

2

，-m）；

（2）解：∵直线y=

2

2

x+m经过点B（-2

2

，-m），
∴-m═

2

2

×（-2

2

）+m，
解得：m=1，
∴B（-2

2

，-1），
代入抛物线y=-

1

4

ax²+a得：-1=-

1

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a（-2

2

^）2+a，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

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x²+1；

（3）证明：如图，设Q（m，-

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m²+1），
∵OM=

m2+(- 1 4

m+1)2=

( 1 4

m2+1)2=

1

4

m²+1，
∵作MQ⊥x
∴QM=2-（-

1

4

m²+1）=

1

4

m²+1，
∴OM=QM．

点评：本题考查了抛物线的顶点坐标，中心对称点的求法，抛物线的解析式的求法，以及勾股定理的应用等，根据对称中心求得对称点是本题的难点．